2단계 · 소문항 (2) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$의 이면각 $\cos\beta, \cos\gamma$ (12점) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에서 모서리 $\mathrm{EF}$의 중점을 $\mathrm{N}$, 정사각형 $\mathrm{EFGH}$의 두 대각선의 교점을 $\mathrm{C}_0$이라 하자. 정삼각형 $\mathrm{OEF}$에서 $\overline{\mathrm{ON}} \perp \overline{\mathrm{EF}}$, $\overline{\mathrm{ON}} = \sqrt{3}$이고, 밑면에서 $\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}} \perp \overline{\mathrm{EF}}$, $\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}} = 1$이다. 또한 $\overline{\mathrm{OC}_0} = \sqrt{\overline{\mathrm{OF}}^2 - \overline{\mathrm{C}_0\mathrm{F}}^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{OC}_0\mathrm{N}$에서 옆면 $\mathrm{OEF}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각 $\beta = \angle\mathrm{ONC}_0$에 대하여 $$\cos\beta = \frac{\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}}}{\overline{\mathrm{ON}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ 한편 이웃한 두 옆면 $\mathrm{OEF}$와 $\mathrm{OFG}$의 교선 $\mathrm{OF}$의 중점을 $\mathrm{H}_0$이라 하면, 정삼각형 $\mathrm{OEF}, \mathrm{OFG}$에서 $\overline{\mathrm{EH}_0} \perp \overline{\mathrm{OF}}$, $\overline{\mathrm{GH}_0} \perp \overline{\mathrm{OF}}$이고 $\overline{\mathrm{EH}_0} = \overline{\mathrm{GH}_0} = \sqrt{3}$이다. 따라서 두 옆면이 이루는 둔각은 $\gamma = \angle\mathrm{EH}_0\mathrm{G}$이고, 정사각형 $\mathrm{EFGH}$의 대각선의 길이는 $\overline{\mathrm{EG}} = 2\sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{EH}_0\mathrm{G}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\cos\gamma = \frac{\overline{\mathrm{EH}_0}^2 + \overline{\mathrm{GH}_0}^2 - \overline{\mathrm{EG}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{EH}_0}\cdot\overline{\mathrm{GH}_0}} = \frac{3 + 3 - 8}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \mathbf{-\frac{1}{3}}$$

3단계 · 소문항 (3) 두 평면의 일치 증명 및 정사영의 넓이 $S'$ (10점) 점 $\mathrm{B, C, D}$를 각각 $\mathrm{O, F, E}$에 포개어 놓으면 평면 $\mathrm{DBC}$와 평면 $\mathrm{OEF}$가 일치하고, 교선 $\mathrm{BC}$($=\mathrm{OF}$)를 경계로 반평면 $\mathrm{ABC}$가 이루는 예각 $\alpha$$\left(\cos\alpha = \dfrac{1}{3}\right)$와 반평면 $\mathrm{OFG}$가 이루는 둔각 $\gamma$$\left(\cos\gamma = -\dfrac{1}{3}\right)$에 대하여 $\cos\alpha = -\cos\gamma = \cos(\pi - \gamma)$에서 $\mathbf{\alpha + \gamma = \pi}$이다.
따라서 두 반평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{OFG}$는 교선 $\mathrm{OF}$를 경계로 이루는 각의 합이 $\pi$($180^\circ$)가 되어 한 평면을 이루므로, 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 놓인 평면과 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각은 옆면 $\mathrm{OFG}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각 $\beta$와 같다. 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$이므로, 제시문 【다】에 의하여 정사영의 넓이 $S'$은 다음과 같다. $$S' = S\cos\beta = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \mathbf{1}$$

1단계 · 소문항 (1) 확률 $p_1, p_2$와 3개 중 '우수 등급'이 1개일 확률 (10점) 배터리 수명 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(500, \sigma^2)$을 따르므로, 제시문 【나】에 의하여 $Z = \dfrac{X - 500}{\sigma}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. 제시문 【다】의 표준정규분포표를 이용하면 '우수 등급'($X \ge 500 + \sigma$)일 확률 $p_1$과 '표준 등급'($500 - 2\sigma \le X < 500 + \sigma$)일 확률 $p_2$는 각각 $$p_1 = \mathrm{P}(X \ge 500 + \sigma) = \mathrm{P}(Z \ge 1.0) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.5 - 0.30 = \mathbf{0.20 \; \left(=\frac{1}{5}\right)}$$ $$p_2 = \mathrm{P}(500 - 2\sigma \le X < 500 + \sigma) = \mathrm{P}(-2.0 \le Z < 1.0) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) + \mathrm{P}(0 \le Z < 1.0) = 0.48 + 0.30 = \mathbf{0.78 \; \left(=\frac{39}{50}\right)}$$ 이다. 임의로 독립 선택한 $3$개의 배터리 중 '우수 등급'의 개수 $W$는 이항분포 $\mathrm{B}(3, 0.2)$를 따르므로, 제시문 【가】에 의하여 '우수 등급'이 정확히 $1$개 포함될 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(W = 1) = {}_3\mathrm{C}_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = \mathbf{0.384 \; \left(=\frac{48}{125}\right)}$$

2단계 · 소문항 (2) 표준편차 $\sigma$와 $\mathrm{P}(X \ge 530)$ 계산 (8점) 수명이 $460$시간 이상 $520$시간 미만일 확률은 표준화에 의하여 $$\mathrm{P}(460 \le X < 520) = \mathrm{P}\!\left(-\frac{40}{\sigma} \le Z < \frac{20}{\sigma}\right) = \mathrm{P}\!\left(0 \le Z \le \frac{40}{\sigma}\right) + \mathrm{P}\!\left(0 \le Z < \frac{20}{\sigma}\right) = 0.78$$ 이다. 함수 $h(t) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 2t) + \mathrm{P}(0 \le Z \le t)$ ($t = \dfrac{20}{\sigma} > 0$)는 $t$에 대한 순증가함수이고, (1)에서 $t = 1.0$일 때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.48 + 0.30 = 0.78$이므로 $\dfrac{20}{\sigma} = 1.0 \implies \mathbf{\sigma = 20}$이다.
따라서 $\sigma = 20$일 때 배터리의 수명이 $530$시간 이상일 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(X \ge 530) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{530 - 500}{20}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.43 = \mathbf{0.07}$$

3단계 · 소문항 (3) 이항분포 $\mathrm{B}(400, 0.2)$의 정규분포 근사와 $\mathrm{P}(Y \ge 92)$ (12점) 임의추출한 $400$개의 배터리 중 '우수 등급'인 배터리의 개수 $Y$는 이항분포 $\mathrm{B}(400, 0.2)$를 따른다. 제시문 【가】에 의하여 $Y$의 평균과 표준편차는 각각 $$\mathrm{E}(Y) = np_1 = 400 \times 0.2 = \mathbf{80}, \qquad \sigma(Y) = \sqrt{np_1(1 - p_1)} = \sqrt{400 \times 0.2 \times 0.8} = \sqrt{64} = \mathbf{8}$$ 이다. $n = 400$은 충분히 크므로 제시문 【나】에 의하여 $Y$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(80, 8^2)$을 따른다. 따라서 $$\mathrm{P}(Y \ge 92) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{92 - 80}{8}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.43 = \mathbf{0.07}$$

2단계 · 소문항 (2) 두 접선의 수직 조건과 $m$의 최댓값 $M$ (15점) 평행이동에 의하여 접선의 기울기는 변하지 않으므로, 점 $\mathrm{P}_0(u, g(u))$에서의 접선의 기울기 $g'(u) = 3au^2 + m$과 점 $\mathrm{Q}_0(-2u, g(-2u))$에서의 접선의 기울기 $g'(-2u) = 3a(-2u)^2 + m = 12au^2 + m$의 곱이 $-1$이어야 한다. $$(3au^2 + m)(12au^2 + m) = -1$$ 여기서 $t = 3au^2$이라 치환하면 $a > 0, \; u \neq 0$이므로 $\mathbf{t > 0}$이고, 위 식은 $t$에 대한 이차방정식 $$(t + m)(4t + m) = -1 \iff \mathbf{4t^2 + 5mt + m^2 + 1 = 0}$$ 이 된다. 이 방정식이 양의 실근 $t > 0$을 가져야 한다. 두 근의 곱이 $\dfrac{m^2 + 1}{4} > 0$이므로 두 근의 합 $-\dfrac{5m}{4} > 0 \implies \mathbf{m < 0}$이어야 하고, 판별식 $D$가 $0$ 이상이어야 한다. $$D = (5m)^2 - 4 \cdot 4(m^2 + 1) = 25m^2 - 16m^2 - 16 = 9m^2 - 16 \ge 0 \implies m^2 \ge \frac{16}{9}$$ $m < 0$이므로 $m \le -\dfrac{4}{3}$이다. (등호는 $t = -\dfrac{5m}{8} = \dfrac{5}{6} > 0$, 즉 $u = \pm\sqrt{\dfrac{5}{18a}}$일 때 성립한다.) 따라서 $m$의 최댓값은 $\mathbf{M = -\frac{4}{3}}$이다.
(별해: 산술·기하평균) $-5m = 4t + \dfrac{m^2 + 1}{t} \ge 2\sqrt{4t\cdot\dfrac{m^2+1}{t}} = 4\sqrt{m^2 + 1}$에서 $m < 0$이고 양변을 제곱하면 $25m^2 \ge 16(m^2 + 1) \implies m \le -\dfrac{4}{3}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 도형의 넓이 $S$와 정적분 급수의 극한 (15점) $a = 1, \; m = -3$이면 $g(x) = x^3 - 3x$이고, 점 $(1, -2)$에서의 접선의 기울기는 $g'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$이므로 접선은 $y = -2$이며 교점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표는 $-2$이다. 구간 $[-2, 1]$에서 $g(x) - (-2) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) \ge 0$이므로 둘러싸인 넓이 $S$는 $$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \mathbf{\frac{27}{4}}$$ 또한 $x_k = -2 + \dfrac{3k}{n}, \; \Delta x = \dfrac{3}{n}$으로 놓으면 $\dfrac{3k - 2n}{n} = x_k$이고 $\dfrac{3k}{n} = x_k + 2$이므로, 제시문 【다】에 의하여 구하는 극한값은 다음과 같다. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^n (3k - 2n)^2\left(\frac{3k}{n}\right) = \frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(-2 + \frac{3k}{n}\right)^2\left(\frac{3k}{n}\right)\frac{3}{n} = \frac{1}{3}\int_{-2}^{1} x^2(x + 2)\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$